Reglas de Derivación

El estudio de las derivadas es un pilar fundamental en el análisis matemático, especialmente en el cálculo diferencial. La derivada de una función mide el cambio de su valor respecto al cambio de su variable independiente, y su comprensión es esencial para resolver problemas en áreas como la física, la economía, la ingeniería y muchas más. Este artículo explora de forma detallada las reglas de derivación o «cálculo diferencial», proporcionando no solo los principios básicos, sino también ejemplos y aplicaciones prácticas de cada una de estas leyes para facilitar su comprensión.

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1. Concepto de Derivada

La derivada de una función $f(x)$ en un punto $x = a$ se define como el límite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero. Formalmente:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}$$

Este límite representa la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en el punto $a$, lo que nos da una medida de la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.

2. Reglas Básicas de Derivación

Existen varias reglas que simplifican el cálculo de derivadas de funciones comunes. A continuación, se presentan las reglas de derivación más importantes junto con sus respectivas fórmulas y ejemplos.

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2.1. Regla de la Derivada de una Constante

Si $f(x) = c$, donde $c$ es una constante, entonces la derivada de $f(x)$ respecto a $x$ es cero. Esto se debe a que una constante no cambia, por lo que su tasa de cambio es nula.

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

Ejemplo:
Para $f(x) = 5$, se tiene que $f'(x) = 0$.

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2.2. Regla de la Potencia

Si $f(x) = x^n$, donde $n$ es un número real, entonces la derivada de $f(x)$ respecto a $x$ es:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Ejemplo:
Para $f(x) = x^3$, su derivada es $f'(x) = 3x^2$.

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2.3. Regla de la Suma

Si $f(x) = g(x) + h(x)$, entonces la derivada de $f(x)$ respecto a $x$ es la suma de las derivadas de $g(x)$ y $h(x)$:

$$\frac{d}{dx}(g(x) + h(x)) = g'(x) + h'(x)$$

Ejemplo:
Si $f(x) = x^2 + 3x$, entonces $f'(x) = 2x + 3$.

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2.4. Regla de la Diferencia

Si $f(x) = g(x) – h(x)$, entonces la derivada de $f(x)$ es la diferencia entre las derivadas de $g(x)$ y $h(x)$:

$$\frac{d}{dx}(g(x) – h(x)) = g'(x) – h'(x)$$

Ejemplo:
Si $f(x) = x^2 – 4x$, entonces $f'(x) = 2x – 4$.

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2.5. Regla del Producto

Para dos funciones $g(x)$ y $h(x)$, la derivada del producto de estas funciones es:

$$\frac{d}{dx}(g(x) \cdot h(x)) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$$

Ejemplo:
Si $f(x) = x^2 \cdot \sin(x)$, entonces $f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$.

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2.6. Regla del Cociente

Si $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, donde $h(x) \neq 0$, la derivada de $f(x)$ es:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right) = \frac{g'(x) \cdot h(x) – g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}$$

Ejemplo:
Para $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$, la derivada es:

$$f'(x) = \frac{2x(x+1) – x^2}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$$

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3. Reglas de Derivación para Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas también tienen reglas de derivación específicas que son esenciales para resolver problemas que involucran senos, cosenos y tangentes.

3.1. Derivada del Seno

$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$

Ejemplo:
Si $f(x) = \sin(x)$, entonces $f'(x) = \cos(x)$.

3.2. Derivada del Coseno

$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$

Ejemplo:
Si $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x)$.

3.3. Derivada de la Tangente

$$\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)$$

Ejemplo:
Para $f(x) = \tan(x)$, su derivada es $f'(x) = \sec^2(x)$.

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4. Reglas de Derivación para Funciones Exponenciales y Logarítmicas

4.1. Derivada de una Función Exponencial

Para la función exponencial $f(x) = e^x$, su derivada es:

$$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$

Si $f(x) = a^x$, donde $a$ es una constante positiva, entonces:

$$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln(a)$$

Ejemplo:
Para $f(x) = 2^x$, se tiene que $f'(x) = 2^x \ln(2)$.

4.2. Derivada de una Función Logarítmica

Para $f(x) = \ln(x)$, la derivada es:

$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Ejemplo:
Si $f(x) = \ln(x)$, entonces $f'(x) = \frac{1}{x}$.

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5. Regla de la Cadena

La regla de la cadena es fundamental para derivar funciones compuestas. Si $f(x) = g(h(x))$, entonces la derivada de $f(x)$ es:

$$\frac{d}{dx}(g(h(x))) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$$

Ejemplo:
Si $f(x) = \sin(x^2)$, entonces:

$$f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$$

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Tabla Resumen de las Reglas de Derivación

Función $f(x)$	Derivada $f'(x)$
Constante $c$	$0$
Potencia $x^n$	$nx^{n-1}$
Seno $\sin(x)$	$\cos(x)$
Coseno $\cos(x)$	$-\sin(x)$
Tangente $\tan(x)$	$\sec^2(x)$
Exponencial $e^x$	$e^x$
Exponencial $a^x$	$a^x \ln(a)$
Logaritmo $\ln(x)$	$\frac{1}{x}$

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Conclusión

Las reglas de derivación permiten simplificar el cálculo de derivadas para diversas funciones comunes y compuestas.